江怡:当代西方数学哲学中的实在论与反实在论

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   提要:本文主要从“那些是数学嘴笨 论”、“居于教学对象吗”和“数学的基础是那些”这样 一一有一个多多现象入手,对当代西方数学哲学中的嘴笨 论与反嘴笨 论之争给出较为全面的分析,并指出了你这俩 争论在哲学史中的深厚根源。作者认为,数学哲学研究对亲们儿认识哲学的性质具有重要的启发意义,即不到清楚地把哲学看作是这俩 理论的构造物,而总要 把它看作这俩 对内部世界的对应解释,亲们儿才会理解哲学的抽象性和普遍性。

   关键词:数学嘴笨 论 数学对象 反嘴笨 论

   在西方数学哲学中,嘴笨 论与反嘴笨 论之间的论战历史最为久远,最早都还要追溯到古希腊。柏拉图把数字看作是共相的观点被称作“柏拉图主义”而成为数学哲学中的嘴笨 论的最初代表,而亚里士多德关于数学对象就是这俩 “潜在”居于的观点则是反嘴笨 论的雏形。在当代英美哲学中,嘴笨 论与反嘴笨 论在数学哲学中的对立始终最为引人注目,也是这场争论中最具代表性的思想对立。

   一、那些是数学嘴笨 论?

   关于你这俩 现象,不同的哲学家会给出不同的回答,但大多数人总要把“柏拉图主义”看作数学嘴笨 论的代表,它认为数字是共相,独立于数学家的运算以及普通人对它们的思考;数学就是对客观居于的实体的科学研究,就像物理人学对物理实体的研究一样;因而,数学陈述的真假取决于那些实体的性质,而那些实体这俩 却是独立于亲们儿取舍 它们的能力。当然.在传统上,不同的哲学家对所谓的数学实体总要 着不同的理解,有的把它们刻画为抽象的、物理空间之外的、永恒不变的实体,还有的则把它们描述为必然居于物,与物理世界的构成成分无关。而关于你这俩 实体的知识通常也被看作是先天和取舍 的。

   显然,你这俩 对数学实体的坚定描述会产生这样 的现象:既然数学嘴笨 是先天的,独立于亲们儿的感觉经验,这样亲们儿又是怎样获得你这俩 先天的知识的呢?就是在非物理空间中居于的数学实体又是怎样与亲们儿所生活的你这俩 物理世界居于联系的呢?根据柏拉图的理论,物理世界中的物质是“分有”着“形相”(Forms),而心灵则一定先于亲们儿出生很久就居于了。当然,柏拉图的你这俩 解释显然无法被现代的嘴笨 论者所接受,就是这样人会再相信所谓“分有”的概念以及神秘主义的解释。但弗雷格关于数的理论、哥德尔关于集合的观点以及普特南对数学命题的理解却使人感到了柏拉图主义在当代的复苏。

   弗雷格在《算术基础》中就明确提出,“每个个别的数总要 一一有一个多多独立的对象”,[1]你这俩 对象总要 心理学的,也总要 这俩 心理过程的产物,就是客观的、科学的,是独立于亲们儿对它们的思想而居于的。经验主义把“数”你这俩 概念看作是对外在事物的抽象对象,因而它与外在事物之间总要 了联系,就是都还要被用于外在的物理对象等。但在弗雷格看来,你这俩 把“数”以及一些算术和数学概念简单与外在事物联系起来的做法是非常幼稚的,就是概念这俩 是思想的产物,嘴笨 它们与外在事物之间居于这俩 关系,但又是与外在事物完整性不同的。弗雷格通过区分客观事物和客观的东西,区分思维过程和通过你这俩 过程而认识和把握的东西,来阐明“数”你这俩 概念的特性。他提出,数既总要 外界事物的性质,也总要 主观的东西,“数被赋予的仅仅是那些把外在和内在的东西、时光英文和非时光英文的东西置于其下的概念。”[2]这样 ,数的性质就在于,它是对概念的表达,就是说,概念才是数的承载者。当弗雷格把概念客观化很久,数也就具有了客观的性质。嘴笨 弗雷格在现代语言哲学的语境中讨论数的现象,就是他的思想也被后人看作从语言分析的层厚研究数学现象的典范,但他把思想客观化的观点以及由此产生的关于数学领域中抽象实体居于的思想,却无法解决陷入柏拉图主义的传统巢穴。

   哥德尔在逻辑上的伟大贡献是提出了关于一阶逻辑的不完整性性定理。他在讨论集合论悖论时,不怎样从数学研究的直觉经验出发,认为集合论的最初公理是显而易见的,就是它们使亲们儿不得不把它们看作是真的。他把数学直觉在数学中的作用比做感性直觉在物理学中的作用,认为亲们儿在数学演算中完总要 靠你这俩 本能的直觉,正如亲们儿的感觉经验往往会真不知道们有关物理对象的内容。哥德尔把罗素对“空类”的解释看作是这俩 这样集合而去系统说明整个数学的努力,而你这俩 努力的失败恰好证明了数学嘴笨 论的合理性。他指出,整个空类理论的方案就是详尽地消除了关于逻辑之外的对象居于的假定,而你这俩 方案的落空恰恰证明了这样 的观点,即数学就建立在涵盖了真实内容的公理的基础之上的,而那些真实的内容是无法以任何措施 被解释掉的。

   此外,哥德尔还把你这俩 对数学直觉与物理感觉的比较扩展到对不可感觉事物的认识上。他认为,既然亲们儿都还要承认居于关于无法感知的物理对象的事实,同样,亲们儿也都还要承认居于关于无法直觉到的数学对象的事实。而亲们儿关于那些对象的知识和信念是通过它们在理论中的作用,通过它们的解释能力,通过它们与一些成功理论之间卓有成效的相互作用等等得到辩护的。美国哲学家曼蒂(Pe—nelope Maddy)把哥德尔你这俩 形式的柏拉图主义分做一一有一个多多层次:“较简单的概念和公理是内在地由它们的直觉证明的,而更具有理论性的假设则是外在地由它们的结果证明的。”[3]但那些证明并总要 先天取舍 的,就是由它们在该人所有的理论中的作用取舍 的。哥德尔确信,直觉式的自明、证明以及数学中的下皮 辩护都完统统还要看作是数学的证明形式,它们与人的直觉本能都表明了原初数人学显而易见的。普特南的数学嘴笨 论在当代数学哲学中更是旗帜鲜明,这是他的科学嘴笨 论思想在数学哲学中的充分体现。[4]对此他明确写道:“这俩 彻底的嘴笨 论,不仅应当对通常意义下的物质对象的居于采取嘴笨 论的立场,就是也应当对数学必然性和就是性的客观性(就是等价地说,对于数学对象的居于性)采取嘴笨 论的立场。”[5]他的你这俩 嘴笨 论主要出于两方面的考虑,即数学的经验和物理的经验。所谓“数学的经验”是指数学的层厚发展、它在解决现象方面所取得的成绩以及自身的无矛盾性,那些使得数学的真理性得到了充分的证明;所谓“物理的经验”是指数学在物理学中的成功运用。他这样 写道:“就是物理和数人学这样紧密地联系在一起的——抛下了数学,甚至任何物理定律的表达总要 不就是的——就是,对物理的客观真理性的肯定也就涵盖了对于数学真理客观性的肯定。……数学的经验表明在这俩 解释下数人学真理;物理的经验则表明你这俩 解释是嘴笨 论的。”[6]

   但普特南暂且赞同数学上的柏拉图主义。传统的柏拉图主义主张数学对象是这俩 绝对的、无条件的、非经验的居于,数学真理也被看作是先验的,这是普特南所不到接受的。他认为,应当把数学命题看作这样 的断言,它所肯定的就是那些事实的特性在数学上是就是的.那些特性在数学上是不就是的。他把你这俩 观点称作数学中的“模态逻辑观点”,并提出就是用你这俩 观点去取代传统的“集合论的观点”,亲们儿就都还要摆脱柏拉图主义的本体论了,就是根据你这俩 观点,数学就是借促进特殊的概念所进行的对普通事物的研究,而这样一些人特殊的研究对象。一些,普特南把一些人的观点看作是有限制的嘴笨 论,你这俩 限制在于,承认数学对象的客观嘴笨 性的标准是它对于科学的必要性:就是某一一有一个多多概念对科学来说是必不可少的,这样亲们儿就应当承认你这俩 概念代表了这俩 真实的居于。普特南这样 写道:“我沿着以下的路线发展进行了关于嘴笨 论的一一有一个多多论证:对形式科学和物理科学来说,数学对象的量化是必不可少的;就是.亲们儿应当接受你这俩 量化,而这样 亲们儿也就接受了相应的数学对象的居于。”[7]

   都还要看出,普特南难能可贵反对传统的柏拉图主义,是就是他反对居于有先验真理的思想,反对把数学看作是一门先验科学。而他的根据是对数学与物理学的比较分析,从物理学这样 的经验科学中寻求数学这样 的抽象学科得以建立的理由。从经验主义的立场出发,普特南的你这俩 嘴笨 论是都还要得到辩护的,但从唯名论的层厚看,你这俩 嘴笨 论却是站不住脚的,就是它最终是要承认数学对象的客观居于,无论是以那些样的措施 表达你这俩 认识的。就是,在唯名论看来,只就是承认了数学对象的居于,也就原应 把数学概念看作是具有客观意义的。就是数人学科这俩 的层厚抽象性,数学概念的你这俩 客观性不就是来自亲们儿所经验的内部世界,因而也就不到承认它们是独立于经验的。这就不可解决地偷运了柏拉图主义的私货。

   二、居于数学对象吗?

   对当代英美哲学家来说,承认数学对象的居于似乎就原应 承认了柏拉图主义,而柏拉图主义又往往被看作是传统形而上学的化身。在数学哲学中.很少有哲学家公开承认一些人是柏拉图主义者,也就很少大家明确承认数学对象的居于。即使是普特南,他在为一些人的嘴笨 论辩护时也竭力表明他并总要 一般性地承认数学对象的居于,他用于判断数学对象居于的标准是对科学理论的必要性。但尽管这样,他的思想仍然遭到了不少哲学家的批评。其中最为激烈的批评就来自以古德曼和蒯因等人的唯名论。与传统的唯名论一样,当代数学哲学中的唯名论完整性否定了数学实体的客观居于,把它们看作就是为了构成这俩 理论所还要的工具而已,而不坚持它们的独立居于。

   古德曼和蒯因在亲们的《走向建设性的唯名论步骤》一文中,明确地表达了亲们的唯名论立场,即对数学中的类、属性以及关系等抽象概念一概采取否定的态度。亲们认为,所谓的集合论或数论这样 就是理论构造物,因而暂且居于集合或类所指的实体,就是抛下了类、集合以及属性或关系这样 的抽象概念,这样由那些概念所产生的各种悖论也就消失了。尽管古德曼和蒯因对类和集合等概念的理解不尽相同:古德曼认为那些概念是被用于指“非个体”,而蒯因则认为它们是指一些抽象实体,但亲们都反对把那些概念看作代表了单个的对象。

在关于数学对象的居于现象上,古德曼还明确地表明了唯名论与柏拉图主义之间的根本对立。他指出,唯名论拒绝承认由数学概念所代表的抽象对象的居于,而柏拉图主义则把这样 对象的居于看作是数学真理的必要条件。在数学语言中,唯名论反对“类”、“关系”这样 的抽象概念,仅仅承认代表个体的名称以及逻辑变项等。一些,在现代唯名论的语言中,不涵盖关于个体之外的任何实体的名称、变项或常项,而只涵盖代表个体的变项、把那些变项连接在一起的量词、真值函项、连词、标点符号以及一位或多位的个体谓词,还涵盖个体的专名、摹状词等。古德曼认为,亲们儿不到禁止在语言中使用涵盖“类”你这俩 词的搞笑的话,但亲们儿都还要引进一些不涵盖你这俩 词的谓词来代替它们。一些,在他看来,现代唯名论和柏拉图主义的不同,这样于使用了那些样的个体谓词,就是在于变项具有那些样的值。古德曼在《个体的世界》一文中这样 来表述他的唯名论原则:“唯名论把世界描述为由个体构成的。要解释唯名论,亲们儿还要解释的总要 那些个体是那些,就是究竟是那些东西把你这俩 世界描述为是由它们构成的。一些,描述你这俩 世界,就是把它描述为由这样 的实体构成的,其中的一一有一个多多实体不必被分解为完整性相同的实体。”[8]这里所谓的“一一有一个多多实体不必被分解为完整性相同的实体”,是指这样 这俩 观点,即认为任何实体总要 单一的,因而任何一一有一个多多不同的实体不就是具有相同的内容。你这俩 观点的提出是为了反对使用“类”概念.就是你这俩 概念就是指不同的实体具有相同的内容。但在古德曼看来,既然没一一有一个多多多不同的类具有相同的内容,就是,一一有一个多多类既与那个恰恰涵盖了其完整性成员的单一一有一个多多体这样区别,也与一些任何其成员恰恰穷尽这同一一有一个多多整体的类这样区别。一些,他写道:“柏拉图主义者就是通过大胆地提出‘纯形式’你这俩 新的方面来区别那些实体,唯名论者则认为,实体之间就是在内容上这样区别,它们就是这样区别的。”[9]可见,古德曼是通过强调个体居于的唯一性来坚持一些人的唯名论立场。蒯因在我应该 的思想中提出的本体论承诺又从一些人面肯定了抽象实体居于的就是性。下皮 上看,你这俩 思想与唯名论背道而驰,但在基本精神上却是一致的,这就是,不把抽象概念作为嘴笨 的实体来看待。无论是完整性从理论中清除那些概念,还是把它们搁置起来,(点击此处阅读下一页)

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